sábado, 14 de octubre de 2017

Análisis dimensional

OBJETIVO
OBJETIVO GENERAL
  • Conocer la importancia del análisis dimensional
OBJETIVO PARTICULAR

  • Identificar las variables y con los grupos adimensionales verificando como influyen estos, en el desarrollo experimental al obtener datos de flujo volumétrico, área del orificio, altura con el prototipo para el análisis dimensional.
INTRODUCCIÓN
Es una técnica mediante la cual se deduce información acerca de un fenómeno, basándose en la premisa de que este puede escribirse mediante una ecuación dimensionalmente homogénea entre ciertas variables. El resultado del A.D. consiste en reducir el número de variables originales que entran en el fenómeno a un conjunto más pequeño, formado con dichas variables, que conforman un grupo de parámetros dimensionales.

El análisis dimensional: (1) Permite un análisis cualitativo. (2) Muestra la dependencia entre las variables. (3) Simplifica las relaciones entre variables.

Este se basa en el Principio de Homogeneidad Dimensional, que establece que “si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables, debe ser dimensionalmente homogénea, es decir, sus sumandos deben tener las mismas dimensiones”.

Una variable es dimensional si su valor numérico depende de la escala usada en su medida; esto es, depende del sistema de unidades elegido. Una variable es adimensional cuando su valor numérico es independiente del sistema de unidades de medida.

El análisis dimensional permite reducir el número y la complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado: si un fenómeno físico depende de n variables dimensionales, es posible reducir el problema a sólo k variables adimensionales, donde la reducción n-k puede ser 1, 2, 3 o 4, dependiendo del número de dimensiones básicas que intervengan en el fenómeno.

Aplicaciones en: 1.   Detección de errores de cálculo.   2. Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades   matemáticas insalvables. 3. Creación y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los túneles aerodinámicos.


DESARROLLO EXPERIMENTAL

RESULTADOS
Tabla 1. Diámetro y área de los orificios.
N. de orificio
Diámetro de orificio(cm)
Área cm2
1
0.238
0.044
2
0.317
0.078
3
0.436
0.149
4
0.555
0.241
5
0.635
0.315
6
1.031
0.833
7
0.423
0.140
Tabla 2. Altura y flujos volumétricos
N. de orificio
Altura (h) cm
q=V/t
(ml/s)
q=V/t
(ml/s)
q=V/t
(ml/s)
q=V/t
(ml/s)
q=V/t
(ml/s)
Promedio
(ml/s)
1
14
7.3442
6.2801
6.2735
6.4070
6.3451
6.5299
2
14
10.3305
11.5646
11.0375
11.2582
11.3122
11.1006
3
14
25.1282
27.1739
26.4864
26.3157
24.0384
25.8285
4
14
37.2549
36.4285
38.6206
41.6
37.8571
38.3522
5
14
51.2
52.0408
55.2631
55.7692
57.8947
54.4335
6
14
94.0170
82.6666
70.3125
82.6086
64.2173
78.7644
7
14
28.7179
29.4416
28.9915
29.7435
29.4736
29.2736


ANÁLISIS DE RESULTADOS
1. Con los datos obtenidos sustituir en los grupos adimensionales para comprobar que:
Tabla 3.   Calculo de Ny N2.
No. De orificio
N1
N2
1
0.00028428
0.00022449
2
0.00048327
0.00039796
3
0.00112446
0.0007602
4
0.00166969
0.00122959
5
0.0023698
0.00160714
6
0.00342906
0.00425
7
0.00127445
0.00071429

2. Calcular el ln de N1 y N2

Tabla 4. Cálculo del Ln de N1  y N2.
No. De orificio
Ln N1
Ln N2
1
-8.16553792
-8.4016803
2
-7.63493039
-7.82916111
3
-6.79045102
-7.18192363
4
-6.39511766
-6.701073
5
-6.04494978
-6.4332973
6
-5.67546844
-5.4608363
7
-6.66524347
-7.24422752

3. Haga una gráfica de lnN1 contra lnN2 y analice la dependencia de las variables de cada uno.
Grafica 1. Ln de N1 contra Ln de  N2.

De la grafica anterior obtenemos la ecuación de la recta
y = 0.8811x - 0.5679

Donde y es el Ln de N1 y queremos conocer el valor teórico de N1, sustituyendo a x por  el Ln de N2 y obtenemos los datos de la siguiente tabla.

Tabla 5. Valores de Ln de N2 calculados con la ecuación de la recta.
No. De orificio
 N1
1
0.0003454
2
0.0005721
3
0.0010119
4
0.0015457
5
0.0019571
6
0.0046103
7
0.0009578

Como conocemos N1 valor teórico podemos despejar q(flujo) de  N1= q / g ½ h5/2 y comparar con el resultado experimental.
Despejando tenemos q=N1* g ½* h5/2
Tabla 6.  Cálculo del flujo teórico
No. De orificio
Flujo experimental (cm3/s)
Flujo teórico (cm3/s)
1
6.5299
7.9377637
2
11.1006
13.1476393
3
25.8285
23.2548439
4
38.3522
35.5222969
5
54.4335
44.9768308
6
78.7644
105.95099
7
29.2736
22.011552

4. Discuta la magnitud del error (sus posibles causas) y concluya.
Tabla 7. Cálculo del porcentaje de error.
No. De orificio
% de error
1
17.7
2
15.5
3
11.0
4
7.96
5
21.0
6
25.6
7
32.9

El error pudo deberse a un flujo turbulento dentro del tanque superior o a la formación de burbujas. También puede que la altura no fuera constante y por tanto el flujo fuera diferente en cada medida de un mismo agujero. Las mediciones con cronómetro de mano no suelen ser muy exactas porque está a merced del rápido reflejo del experimentador (Azzimonti, 2003).

Como se observa en la tabla 6 el porcentaje de error fue alto esto lo atribuimos a que la bomba fallaba y se apagaba, esto generaba que la altura variara por 1 o 2 mm y esto afecta ya que la presión con  la que sale el flujo varia.

MEMORIA DE CÁLCULO
·         Tabla 1. Diámetro y área de los orificios.
Se calculo el area de cada orificio primero se convirtió a cm con la relación
   1pulg-------.2.54cm
 1/8pulg.------ X
Despejamos a X que serán los cm equivalentes a 1/8 de pulgada ya que los diámetros de los orificios estaban en pulgadas para este caso  tenemos:
Observamos que  nos quedan unidades en cm porque las pulgadas se dividen.
 El diámetro se divide entre 2 para obtener el radio.
 A continuación calculamos el área de cada orificio con la fórmula del área de un circulo que es: 

·         Tabla 2. Altura y flujos volumétricos
Para esta tabla calculamos el flujo  determinando experimentalmente  en volumen  por unidad de tiempo esto es:
Sustituyendo valores 50/4.84
Esto se realizó para cada orificio para cada una de las tomas y se realizo un promedio.

·          Tabla 3.   Cálculo de Ny N2.
Con las siguientes formulas se calculo N1  y N2.
N1= q / g ½ h5/2
N2= Ao/ h2
Sustituyendo valores en la formulas anteriores
Para N1
Analizando las unidades
Para N2
Analizando las unidades

Tabla 4. Calculo del Ln de Ny N2.
Se sacó el Ln de  Ny N2.
Tabla 5. Valores de Ln de N2 calculados con la ecuación de la recta.

y = 0.8811x - 0.5679
donde y es Ln de N1 y queremos conocer a N1 teórico por lo que se sustituye en X los valores de N2.
Sustituyendo valores para el orificio 2:

Tabla 6.  Cálculo del flujo teórico
A continuación  se calculo el valor teórico del flujo (q) para cada orificio con el valor  de n1 que se calculo en el punto anterior.
Tenemos que   N1= q / g ½ h5/2

Despejando el flujo:
Sustituyendo valores para el orificio 2:
Analizando las unidades:

Tabla 7. Cálculo del porcentaje de error.
Se calculó el % de error con la fórmula
Sustituyendo los valores de orificio 2:

BIBLIOGRAFÍA

-Azzimonti, J. (2003). Bioestadística aplicada a Bioquímica y Farmacia (2ª ed.). México D. F.: Editorial Universitaria, pp. 115

-Cengel, Y. y Boles, M. (2006). Termodinámica (6ª ed.). México, D. F.: Editorial McGraw-Hill. ISBN: 970-10-3966-1, pp. 374
-Chang, R. (2010). Química (10ª ed.).  E. U. A.: McGraw-Hill, pp. 256-259